在声学领域，通过主动发射声信号来获取目标信息的方法成为主动声学方法。其中一个常见的应用是定位目标的距离，此时在声速已知的条件下可以通过估计声信号的传播时间来确定目标的距离。传播时间作为一个估计量，确定其估计的准确度是非常重要的。CRB给出了所有无偏估计量的方差下界，也就是一个估计量能给出的最好结果。主动声学系统中时延 $\tau$ 的CRB由以下公式给出：
\[\sigma_\tau^2\geq \frac{1}{d^2\beta^2}\tag{1}\]其中 $d^2=2E/N_\text{0}$ ，$E$ 代表了已知确定信号 $s(t)$ 的能量，$N_\text{0}$ 是白噪声功率。$\beta^2$ 代表了信号带宽的某种度量，由以下公式给出：
\[\beta^2 = \frac{\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2|F(\omega)|^2d\omega}{\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2d\omega}\tag{2}\]其中 $F(\omega)$ 是发射信号 $s(t)$ 的频谱。从以上公式可以基本看出，主动声学系统中的时延估计的精确度与信号的能量、频率、带宽有关，这三者的数值越大，能量估计的方差越小。
为了得出进一步结论，我们假设 $s(t)$ 的功率谱在 $f_1$ 和 $f_2$ 之间均匀分布（假设为双边谱），其谱密度为 $S_0/2$ ，带入公式 $(2)$ 可以得到
\[\begin{aligned} \beta^2 & =\frac{2 \int_{f_1}^{f_2}(2 \pi f)^2 S_0 / 2\cdot2 \pi d f}{2 \int_{f_1}^{f_2} S_0 / 2\cdot2 \pi d f} \\ & =(2 \pi)^2\left(f_2^2+f_1 f_2+f_1^2\right) / 3 \end{aligned}\]进一步带入公式 $(1)$ 可得时延估计的下限为：
\[\begin{aligned} \sigma_D^2 & \geqslant \frac{1}{\frac{2 E}{N_0} \frac{4 \pi^2}{3}\left(f_2^2+f_1 f_2+f_1^2\right)} \\ & =\frac{1}{\frac{2 S T}{N_0\left(f_2-f_1\right)} \frac{4 \pi^2}{3}\left(f_2-f_1\right)\left(f_2^2+f_1 f_2+f_1^2\right)} \\ & =\frac{3}{8 \pi^2 T} \frac{1}{\operatorname{SNR}} \frac{1}{\left(f_2^3-f_1^3\right)} \end{aligned}\]其中 $S = S_0(f_2 - f_1)$ 代表信号功率，$N=N_0(f_2 - f_1)$ 代表噪声功率，$T$ 代表信号的观测时间，$SNR$ 为信号的信噪比。用信号的中心频率 $f_0$ 和信号的带宽 $W$ 来表示时延估计的标准差有
\[\sigma_D\geq\left(\frac{1}{8 \pi^2}\right)^{1 / 2} \frac{1}{\sqrt{\mathrm{SNR}}} \frac{1}{\sqrt{T W}} \frac{1}{f_0} \frac{1}{\sqrt{1+W^2 / 12 f_0^2}}\]由此可以看出，时延估计的精确度与以下三个因素有关：
- 信号的信噪比，信噪比越高，估计的精度越高；
- 信号的时间带宽积，时间带宽积越大，估计精度越高；
- 信号的中心频率，以及中心频率与带宽的乘积，中心频率越高，估计精度越高。
